Probleemoplossend denken vormt de kern van wiskunde. Toch ervaren leerlingen dit vaak als moeilijk. Hoe kunnen we hen hierbij ondersteunen zonder het denkwerk over te nemen? De methode van George Pólya biedt hiervoor een krachtig kader.
Wiskunde - 2de graad - D/A-finaliteit
Wiskunde B+S - 2de graad - D/A-finaliteit
Wiskunde B+S' - 3de graad - D-finaliteit
Wiskunde - 3de graad - D/A-finaliteit
Wiskunde B+S - 3de graad - D/A-finaliteit
Wiskunde B+S - 3de graad - D-finaliteit
Wiskunde B+S'' - 3de graad - D-finaliteit
Wiskunde - 1ste graad - A-stroom
Wiskunde - 3de graad - D-finaliteit
Wiskunde - 2de graad - A-finaliteit
Wiskunde B+S' - 3de graad - D/A-finaliteit
Wiskunde - 3de graad - A-finaliteit
Wiskunde B+S'' - 3de graad - D/A-finaliteit
Wiskunde 1ste graad - B-stroom
Wiskunde B+ - 2de graad - D-finaliteit
Wiskunde B+S - 2de graad - D-finaliteit
Wiskunde - 2de graad - D-finaliteit
Wiskunde B+S' - 2de graad - D-finaliteit
Wiskunde B+S'' - 2de graad - D-finaliteit
Wiskunde - 7de leerjaar
Wiskunde S - 7de leerjaar
Wiskunde Co - 3de graad - D-finaliteit
Probleemoplossend denken vormt de kern van wiskunde. Toch ervaren veel leerlingen het oplossen van niet-routineproblemen als moeilijk. Ze weten vaak niet hoe te beginnen, of ze geven snel op wanneer een oplossing niet meteen zichtbaar is. Hoe kunnen we leerlingen hierbij ondersteunen zonder het denkwerk over te nemen?
De methode van Pólya biedt hiervoor een krachtig en toegankelijk kader. Deze aanpak helpt leerlingen om hun denkproces te structureren en bewuster om te gaan met mogelijke oplossingsstrategieën.
De Hongaarse wiskundige George Pólya (1887-1985) beschreef deze methode in zijn boek How to Solve It (1945). Hij onderscheidt vier stappen:
Bij elk van deze stappen spelen heuristieken een belangrijke rol. Dit zijn strategieën die het denkproces ondersteunen, zonder garantie op succes. Voorbeelden zijn:
In wat volgt illustreren we deze aanpak aan de hand van een meetkundig probleem dat verschillende oplossingsstrategieën toelaat.
Bereken de oppervlakte van het vierkant AEFG, waarbij de vierhoek ABCD een rechthoek is.
In deze fase is het belangrijk dat leerlingen de situatie goed analyseren.
Mogelijke vragen die leerlingen helpen:
We stellen vast:
Om de oppervlakte te berekenen, moeten we de lengte van een zijde van het vierkant kennen.
In deze fase zoeken leerlingen naar mogelijke oplossingsstrategieën en leggen ze verbanden met eerder geziene leerinhouden.
Twee mogelijke strategieën zijn:
Op de figuur herkennen we verschillende driehoeken die gelijkvormig zijn. Door gebruik te maken van de evenredigheid van overeenkomstige zijden kunnen we de zijde van het vierkant berekenen.
De driehoeken GFD en EBF zijn gelijkvormig.
Hierdoor zijn de overeenkomstige zijden evenredig. Door de zijde van het vierkant gelijk te stellen aan a, kunnen we via evenredigheid een vergelijking opstellen en oplossen.
De oppervlakte van vierkant AEFG is gelijk aan 16.
We voeren een assenstelsel in (zie figuur) en stellen de vergelijking van de rechte BD op.
Het punt F heeft coördinaten (a,a).
Omdat F op de diagonaal ligt, voldoet het aan de vergelijking van deze rechte.
De oppervlakte van vierkant AEFG is gelijk aan 16.
De reflectiefase is essentieel, maar krijgt in de klaspraktijk vaak te weinig aandacht.
Mogelijke reflectievragen:
Voor dit probleem is er zelfs nog een derde, meer inzichtelijke methode.
Door twee hulplijnen te tekenen, ontstaan verschillende congruente driehoeken. Hierdoor zien we dat de oppervlakte van het vierkant gelijk is aan de oppervlakte van de rechthoek FHCI met afmetingen 8 en 2.
De oppervlakte van vierkant AEFG kan dus onmiddellijk bepaald worden.
Deze aanpak toont hoe een goed gekozen hulplijn een probleem aanzienlijk kan vereenvoudigen.
Deze opdracht illustreert hoe één probleem kan leiden tot verschillende oplossingsstrategieën:
Door deze strategieën te vergelijken, ontwikkelen leerlingen niet alleen hun wiskundige kennis, maar ook hun probleemoplossende vaardigheden.
De rol van de leraar is hierbij cruciaal. Door gerichte vragen te stellen kan de leraar het denkproces ondersteunen zonder de oplossing onmiddellijk aan te reiken.
Het expliciet doorlopen van de vier stappen van Pólya helpt leerlingen om:
We kunnen hetzelfde probleem bekijken met gewijzigde gegevens. Nu zijn de lengte en de breedte van de rechthoek gekend (zie figuur). Er wordt opnieuw naar de oppervlakte van het vierkant AEFG gevraagd.
Blijft de methode met hulplijnen de meest efficiënte aanpak?
Deze variatie nodigt leerlingen uit om verder te exploreren en stimuleert wiskundig onderzoekend leren.
Problemen zoals deze bieden rijke kansen om probleemoplossend denken te ontwikkelen. Door verschillende oplossingsstrategieën te verkennen en te vergelijken, ontdekken leerlingen dat wiskunde niet alleen bestaat uit het toepassen van rekenregels en eigenschappen, maar ook uit denken, redeneren en onderzoeken. De rol van de leraar bestaat erin het denkproces te begeleiden via gerichte vragen, zonder de oplossing onmiddellijk aan te reiken.
De methode van Pólya biedt hierbij een waardevol kader, zowel voor leerlingen als voor leraren.
