In de eerste graad komen de merkwaardige lijnen in een driehoek aan bod. Hierbij zien de leerlingen ook de kenmerkende eigenschap van een bissectrice, namelijk dat elk punt van de bissectrice even ver van de benen van de hoek ligt. We gaan met dit voorbeeld in op een andere eigenschap van bissectrices van een driehoek die met leerinhouden van de tweede graad D en D/A kan bewezen worden.
Wiskunde - 2de graad - D/A-finaliteit
Wiskunde B+S - 2de graad - D/A-finaliteit
Wiskunde - 1ste graad - A-stroom
Wiskunde B+ - 2de graad - D-finaliteit
Wiskunde B+S - 2de graad - D-finaliteit
Wiskunde - 2de graad - D-finaliteit
Wiskunde B+S' - 2de graad - D-finaliteit
Wiskunde B+S'' - 2de graad - D-finaliteit
Een bissectrice vanuit een hoekpunt van een driehoek verdeelt de overstaande zijde in twee stukken die zich verhouden als de aanliggende zijden.
We verduidelijken deze eigenschap met een voorbeeld.
Via GeoGebra kunnen we leerlingen deze bissectricestelling laten ontdekken.
We geven drie mogelijke bewijzen die aansluiten bij leerinhouden van de tweede graad.
Voor onderstaande driehoek ABC tonen we aan dat a/b gelijk is aan c1/c2.
We passen in de driehoeken BDC en ACD de sinusregel voor het oplossen van willekeurige driehoeken toe. (Leerplan II-WisS-d en II-WisS’’-d)
Hieruit kunnen we de te bewijzen gelijkheid afleiden.
De leerinhouden die nodig zijn voor dit bewijs staan in alle leerplannen wiskunde van de tweede graad D/A- en D-finaliteit.
Bij evenredigheden, denken we aan gelijkvormigheden. Met de even grote hoeken door de bissectrice, ligt het kenmerk HH voor de hand. Maar hoe bekomen we driehoeken met een tweede paar even grote hoeken? Eén mogelijkheid is om voor de driehoeken BDC en ACD de hoogtes vanuit respectievelijk B en C te tekenen.
De rood-gearceerde driehoeken BDH1 en ADH2 zijn gelijkvormig. We steunen op het gelijkvormigheidskenmerk HH (overstaande hoeken en recht hoeken). De groen-gestipte driehoeken BH1C en AH2C zijn ook gelijkvormig. Opnieuw steunen we op het gelijkvormigheidskenmerk HH (bissectrice en rechte hoeken). In de twee paar gelijkvormige driehoeken vinden we nu twee keer een evenredigheid waarbij de verhouding van de hoogtes een rol speelt:
Het te bewijzen volgt hier meteen uit.
Dit bewijs steunt opnieuw op de inhouden die in alle leerplannen van de tweede graad D/A- en D-finaliteit staan.
We tekenen de rechte k door het punt A en evenwijdig aan BC. Zo ontstaat de driehoek ADE. Deze driehoek is gelijkvormig met BDC. We steunen hierbij op het gelijkvormigheidskenmerk HH. De verklaring voor de gelijke hoeken volgt uit leerinhouden van de eerste graad (verwisselende binnenhoeken, overstaande hoeken).
Driehoek ACE heeft twee gelijke hoeken en is dus gelijkbenig. Er geldt: |AE|=|AC|=b.
Uit deze gelijkheid en uit de gelijkvormigheid van de driehoeken BDC en ADE kunnen we de te bewijzen gelijkheid afleiden.
Hoewel het bewijs van de bissectricestelling steunt op leerinhouden van de tweede graad zijn de eerste drie opdrachten haalbaar in de eerste graad als toepassing op evenredigheden.
In elke opdracht wordt gevraagd om de waarde van x te berekenen.
Oplossing
We tekenen de bissectrice DE uit het hoekpunt D van de driehoek ADC.
De driehoeken ABE en DBE hebben 3 paar gelijke zijden, waardoor ze congruent zijn. (ZZZ)
Hieruit volgt dat BE de bissectrice uit het hoekpunt B van de driehoek ABC is.
We passen zowel in de driehoek ABC als in de driehoek ADC de bissectricestelling toe. Hieruit volgt de waarde voor x.
Ook voor de lengte van een bissectrice van een driehoek bestaat er een formule. Het opstellen van deze formule is een mooie toepassing om bij het onderwerp ‘oplossen van willekeurige driehoeken’ (Leerplan II-WisS-d en II-WisS’’-d) te werken aan de doelstelling over het beargumenteren van redeneringen (bewijsvoering).
De lengte |CD| van de bissectrice CD uit C van de driehoek ABC kan met volgende formule berekend worden:
Het bewijs van deze formule is een toepassing op de bissectricestelling.
In de driehoeken BDC en ACD passen we de cosinusregel toe om a2 en b2 te berekenen.
We vermenigvuldigen beide gelijkheden met respectievelijk c2 en c1 en tellen daarna de linker- en rechterleden van beide gelijkheden op.
Voor driehoek ABC geldt wegens de bissectricestelling:
Met behulp van deze laatste gelijkheid kunnen we het linkerlid van (*) herschrijven en zo bekomen we de gezochte formule.
De rechte CD is de bissectrice uit het hoekpunt C van de driehoek ABC. Bereken in de lengte |CD|.
Voor deze driehoek geldt:
Ook bij Opdracht 1, Opdracht 2 en Opdracht 3 (zie Toepassingen) kun je bijkomend naar de lengte |AD| vragen als toepassing op deze eigenschap.
