In het leerplan wiskunde III-WisS''-d van de derde graad D-finaliteit staat een specifiek leerplandoel over onderzoekscompetenties. Je vindt hier een voorbeeld van een onderzoekscyclus bij een onderzoeksopdracht gelinkt aan de specifieke inhoud 'limieten van rijen'.
We willen benadrukken dat een onderzoeksopdracht kan gaan over om het even welk onderwerp dat gelinkt kan worden aan een specifieke inhoud wiskunde van de studierichting. Het is wel de bedoeling dat leerlingen een volledige onderzoekscyclus doorlopen.
Deze opdracht is gekoppeld aan leerplandoel 46 'De leerlingen bepalen limieten van rijen' van leerplan III-WisS’’-d. Ook bewijsvoering (LPD 4) en matrixrekening (LPD 34) komen aan bod, wat ook specifieke inhouden voor deze doelgroep zijn.
De leerlingen hebben meetkundige rijen bestudeerd (LPD44). Het quotiënt van twee opeenvolgende termen van een meetkundige rij is telkens dezelfde constante die we de reden of het quotiënt van de meetkundige rij noemen. We onderzoeken of er nog rijen en bijzondere waarden bestaan waartussen een gelijkaardig verband bestaat. We focussen ons op de rij van de Pellgetallen en de zilveren verhouding.
Het is voor leerlingen niet zo eenvoudig om zelf een onderzoeksvraag te stellen. Je kunt hen daarbij ondersteunen door zelf een onderzoeksvraag te geven. De leerlingen kunnen op basis van die vraag nadenken over mogelijke deelvragen.
Wat is het verband tussen de zilveren verhouding en de Pellgetallen
Mogelijke deelvragen:
Dit is een beschrijvend onderzoek met aandacht voor bewijsvoering.
De leerlingen gaan op zoek naar betrouwbare bronnen om informatie te verzamelen over de zilveren verhouding en de Pellgetallen. Ze bestuderen en bewijzen een aantal gevonden eigenschappen en verbanden. De leerlingen proberen zo een antwoord te vinden op de gestelde onderzoeksvragen.
Duiding bij het uitwerken van het onderzoek
Nadat het voor leerlingen duidelijk is wat de zilveren verhouding en de rij van Pellgetallen zijn, kunnen ze op zoek gaan naar het verband. De rij van de quotiënten van alle twee opeenvolgende Pellgetallen (Pn+1/Pn) zal namelijk convergeren naar de zilveren verhouding.
Nu kan er gezocht worden naar contexten binnen en buiten de wiskunde waar de zilveren verhouding terug te vinden is. Enkele voorbeelden zijn:
In onderstaand document vind je meer inhoudelijke duiding bij deze onderzoeksopdracht.
Er kan ook nagegaan worden of er nog rijen en bijzondere waarden zijn die onderling een gelijkaardig verband hebben als het verband tussen de rij van de Pellgetallen en de zilveren verhouding. De rij van Fibonacci en de gulden snede, maar ook het plastische getal en de rij van Padovan zijn hier voorbeelden van. Het plastische getal wordt in de architectuur gebruikt. Deze laatste voorbeelden zijn eveneens mogelijk onderwerpen voor een onderzoeksopdracht.
