Dit probleem sluit aan bij de leerstof A-stroom. Omdat we overtuigd zijn dat het probleem uitdagend en relevant blijft voor menig leerlingen in de 2de doorstroom en 2de - 3de graad dubbele finaliteit, koppelden we het aan al deze leerplannen, specifiek voor het leerplandoel:
LPD2 De leerlingen lossen vraagstukken en problemen op door te mathematiseren en demathematiseren en door gebruik te maken van heuristieken.
Bovenstaand probleem is geen uitspraak van Einstein, maar die had wel een gezonde ingesteldheid rond problemen oplossen (fouten maken kan en moet) en het leek ons leuk op deze manier de vraag wat verpakt te presenteren voor leerlingen, dat maakt het uitpakken des te leuker 😉.
Het probleem leent zich tot verschillende aanpakken, welke aanpak je kiest en wat je precies verwacht als antwoord heeft een grote impact op de benodigde voorkennis, het benodigd abstractievermogen én de tijd dat je ervoor moet voorzien.
Van intuïtief argumenteren tot onderbouwd aantonen. Je kunt het houden op het zoeken van een waar-niet waar-antwoord met een ‘lichte’ argumentatie (voorbeelden die leiden tot het vinden van een algemene structuur). Je kunt verwachten dat leerlingen niet enkel tonen dat ze die structuur zien via een ‘volgend voorbeeld’ maar ook via een veralgemeende algebraïsche vorm. En je kunt nog een stapje verder gaan en verwachten dat leerlingen hun algebraïsch rekenen aanwenden om de uitspraak te bewijzen.
Uitgangspunt getallen of figuren. Daarnaast kun je als uitgangspunt getallen kiezen om vanuit te veralgemenen, of je kunt de visuele kracht van meetkunde gebruiken om de uitspraak te visualiseren en dit als uitgangspunt te gebruiken om het probleem op te lossen. In deel 1 werken we louter vanuit de algebraïsche bril. In deel 2 verkennen we de mogelijkheden van een meetkundige bril.
Niet alles hoeft. We hopen dat je hieruit inspiratie opdoet voor in je les. Niet alles hoeft! Je kunt het houden op algebraïsch tot en met stap 1, op meetkundig tot en met stap 1 of je gaat all the way. Daarnaast kun je een deel als back-up houden voor snellere leerlingen of voor in een differentiatie-uurtje. De keuze is aan jou.
Hieronder werken we uit zoals elke wiskundeleraar dit wellicht zou doen:
Dit soort proces willen we bij leerlingen faciliteren, je ziet er de stappen in van het probleemoplossen zoals beschreven door wiskunde-enthousiasteling Polya (begrijpen – een plan bedenken – een plan uitvoeren – reflecteren) en je ziet er heuristieken in: algemene strategieën die je dichter brengen bij een oplossing (voorbeelden gebruiken – een patroon ontdekken). Zo zie je de wiskunde verscholen in de uitspraak en kun je aangeleerde wiskundetechnieken gebruiken om de uitspraak aan te tonen (algebraïsch rekenen). En ’t is nog eens leuk ook.
We verduidelijken de vraag door voorbeelden te zoeken bij de wiskundige begrippen erin en vervolgens een voorbeeld bij de uitspraak zelf.
De afzonderlijke begrippen:
o som gaat over optellen
o twee opeenvolgende getallen zijn bv. 1 en 2 of 13 en 14
o twee opeenvolgende oneven getallen zijn dan bv. 1 en 3 of 13 en 15
o verschil gaat over aftrekken
o kwadraten zijn bijvoorbeeld 1 want 1 x 1 = 1 of 4 want 2 x 2 = 4
De uitspraak zelf wordt wat puzzelen:
o 3 + 5 wat 8 is, kunnen we schrijven als … - … met op de puntjes kwadraten
o 3 + 5 = 9 – 1 en daarbij klopt het 1 en 9 zijn kwadraten
Nu is de vraag dus of dit steeds klopt. We zoeken meer voorbeelden. Misschien stoten we op een tegenvoorbeeld dan klopt het niet, vanaf één tegenvoorbeeld mogen we besluiten: de uitspraak klopt niet. Misschien vinden we geen tegenvoorbeeld, dan zouden we willen te weten komen ‘hoe’ het komt dat de uitspraak klopt.
We besluiten overzichtelijk te werken vanaf 1 + 3 en alvast wat kwadraten uit te schrijven om het puzzelen te vergemakkelijken: 0² = 0, 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16, 5² = 25, 6² = 36, 7² = 49, 8² = 64, 9² = 81, 10² = 100.
We zetten elke oefening op een nieuwe lijn zodat we ernaast plaats hebben om na enkele voorbeelden of na veel voorbeelden te zoeken naar de relatie tussen de getallen (of mocht de uitspraak niet kloppen iets in de zin van “tegenvoorbeeld!” te noteren.) Zo leren we systematisch te werken.
Linkerlid Rechterlid Denk/werkplaats 1 + 3 = 4 4 - 0 3 + 5 = 8 9 - 1 5 + 7 = 12 16 - 4 7 + 9 = 16 16 - 0 of 25 - 9 9 + 11 = 20 36 - 16 11 + 13 = 24 25 - 1 of 49 - 25 13 + 15 = 28 64 - 36 ... ...
Het lijkt te kloppen. Valkuilen zijn wel dat er soms meerdere manieren zijn om de som als verschil van kwadraten te schrijven en mogelijk denken leerlingen niet aan 0 als kwadraat waardoor ze al meteen een tegenvoorbeeld hebben. Daar kun je alert voor zijn.
Nu komt de kracht van wiskunde van pas! We hebben wel al wat voorbeelden, maar … Klopt het nu altijd? En waarom eigenlijk? We proberen een algemene regel te vinden misschien helpt dat ons verder.
Eerst kijken we op ons overzicht welke uitwerkingen deel kunnen uitmaken van eenzelfde algemene regel, de andere laten we even weg. Dat geeft:
Linkerlid Rechterlid Denk/werkplaats 1 + 3 = 4 4 - 0 3 + 5 = 8 9 - 1 5 + 7 = 12 16 - 4 7 + 9 = 16 25 - 9 9 + 11 = 20 36 - 16 11 + 13 = 24 49 - 25 13 + 15 = 28 64 - 36 ... ...
Nu is het de bedoeling dat we vanuit het ene lid zouden kunnen voorspellen wat in het andere lid komt.
Een eerste stap kan zijn om bij het rechterlid de termen als kwadraten te schrijven.
Linkerlid Rechterlid Denk/werkplaats 1 + 3 = 4 4 - 0 2² - 0² 3 + 5 = 8 9 - 1 3² - 1² 5 + 7 = 12 16 - 4 4² - 2² 7 + 9 = 16 25 - 9 5² -3² 9 + 11 = 20 36 - 16 6² - 4² 11 + 13 = 24 49 - 25 7² - 5² 13 + 15 = 28 64 - 36 8² - 6² ... ... ...
Invullen van boven naar onder is niet zo moeilijk. Ook weten we dat het verschil tussen de termen in het linkerlid 2 is en dat is ook zo voor de grondtallen van de kwadraten in het rechterlid.
Merk je hoeveel begrippen geoefend worden alleen al bij het omschrijven van wat we opmerken?
Je kunt het daarop houden maar wiskunde schittert nog dat tikkeltje feller als je ook naar die algemene regel gaat. Nu moet je even durven getallen kiezen (één uit het linkerlid en één uit het rechterlid) en volharden. (Alternatief hadden we ook een kolom kunnen toevoegen om eerst de oefeningen te nummeren en dat nummer verder gebruikt.)
We kiezen even de kleinste getallen (dat klinkt eenvoudiger), maar een andere keuze kan ook:Linkerlid Rechterlid Denk/werkplaats 1 + 3 = 4 4 - 0 2² - 0² dus 1 en 0 3 + 5 = 8 9 - 1 3² - 1² dus 3 en 1 5 + 7 = 12 16 - 4 4² - 2² dus 5 en 2 7 + 9 = 16 25 - 9 5² -3² dus 7 en 3 9 + 11 = 20 36 - 16 6² - 4² dus 9 en 4 11 + 13 = 24 49 - 25 7² - 5² dus 11 en 5 13 + 15 = 28 64 - 36 8² - 6² dus 13 en 6 ... ... ...
Vooral als je de hoogste paren ziet (die het laagst staan …), krijg je een idee over de verbanden tussen linker- en rechterlid: 13 en 6, 11 en 5, ... Dat is nét niet 12 en 6, 10 en 5. Je checkt voor de andere 9 en 4: inderdaad 9 is het dubbel van 4+ 1, 7 is het dubbel van 3 + 1. Laat leerlingen dit verwoorden, maak dan de overgang naar letters. Neem bv. n voor het kleinste van de 2 getallen, dan is de andere 2n + 1.
Nu gebruiken we dat om de verbanden in linker- en rechterlid met letters te schrijven.
Bij het rechterlid is de kleinste n dus de andere n + 2. Het rechterlid kunnen we dus schrijven als (n + 2)² - n².
Bij het linkerlid is de kleinste 2n + 1 en dus de andere 2n + 1 + 2 of 2n + 3. Het linkerlid kunnen we dus schrijven als (2n + 1) + (2n + 3).
Nu schrijven we de gelijkheid (2n + 1) + (2n + 3) = (n + 2)² - n².
Wow: wat goed mochten je leerlingen dit vinden, maar je kunt uiteraard de oefening ook aanpassen/vereenvoudigen. Bijvoorbeeld door
In elk geval kan het goed zijn om even te pauzeren, de algemene regel te bewonderen en je te laten verbluffen met hoe wiskunde zo compact een verband kan schrijven.
Om die stille bewondering vast te houden en te leren vanuit dit probleemoplossend denken, kun je vragen stellen als:
Zo krijgen leerlingen meer inzicht in algebra. Je kunt ook al even reflecteren en wijzen op wat hielp (heuristiek) bij het probleemoplossen, bv.om linker- en rechterlid te linken kozen we één getal van linker- en rechterlid. Kiezen hielp: je probeerde niet meteen tussen de vier getallen een verband te vinden, maar tussen twee ervan.
Na dit op adem komen, kun je via letterrekenen tonen dat de equivalentie klopt. Verdeel deze uitwerkoefeningen bv. over groepen van je klas.
(2n + 1) + (2n + 3) = 4n + 4
(n + 2)² = (n + 2)(n + 2) = n² + 2n + 2n + 4 = n² + 4n + 4
Linker- en rechterlid zijn dus equivalent!
n² + 4n + 4 – n² = 4n + 4
Nu kun je bv.
‘4n + 4’ is duidelijk deelbaar door 4
Begrijpen leerlingen dat? Kunnen ze uitleggen waarom? En hadden ze dat al opgemerkt?
Zo kun je controleren of iedereen nog mee is.
Bij de oorspronkelijke formulering met de oneven getallen denk je automatisch aan de natuurlijke getallen als domein. Maar klopt dit ook voor negatieve, gehele getallen? Voor breuken? Je kunt leerlingen even laten proberen bv. voor -10 of voor ½, intussen oefenen ze getalwaarde berekenen.
En ja hoor: het klopt! Wow: wiskunde…
Een leuk en visueel alternatief of extra argumentatie vind je via meetkunde. Je kunt hierop aansturen door erop te wijzen dat kwadraten in het Engels squares zijn en vragen of leerlingen dat woord kennen. Wellicht weten ze dat dit vierkanten zijn.
Dan kun je leerlingen ruitjespapier laten nemen en hen de opdracht geven om de rechterleden uit te tekenen. Laat hen nadenken hoe ze de vierkanten kunnen tekenen zodat ze het verschil ‘zien’.
Verschil van kwadraten = blauw vierkant – geel vierkant
Laat hen dat enige tijd doen en vraag dan of ze in diezelfde figuur ook het linkerlid herkennen…
Som van opeenvolgende oneven getallen = blokjes die aansluiten op geel vierkant + blokjes eentje verwijderd van geel vierkant.
Ik gebruikte hieronder wat andere tinten om de aandacht te vestigen op wat we 'zien' bij het linkerlid.
Verrassing alom, toch?
Stap 2: Vanuit de meetkundige voorstelling de stap naar letters zetten
Als je nog niet met letters het patroon had vastgelegd, dan kun je dat nu alsnog. Je precieze regel in letters zal nu afhangen van wat je kiest voor te stellen met een letter. Nemen we bijvoorbeeld n de zijde van het grote vierkant, dan krijg je n² - (n – 2)² = (2n – 3) + (2n – 1) en ook nu zouden we via letterrekenen kunnen aantonen dat dit klopt.
Heb je wel al het patroon in lettervorm vastgelegd, dan kun je nu wat extra vragen stellen over hoe die te interpreteren. Zo kun je vragen wat de letter 'n' in de figuur voorstelt. Bij (2n + 1) + (2n + 3) = (n + 2)² - n² bijvoorbeeld is n de zijde van het kleine vierkant.
Eventueel zou je ook kunnen vragen hoe kan dat: “n² - (n – 2)² = (2n – 3) + (2n – 1)” én “(2n + 1) + (2n + 3) = (n + 2)² - n²”? Dat kan tegenstrijdig lijken maar het gaat erover dat de uitspraak voor elke n geldt. De eerste uitspraak geldt dus bv. ook voor n = m + 2 en vervang je n door m + 2, dan krijg je de tweede uitspraak maar dan met m als keuze voor de onbekende. Als leerlingen dat niet lijken te snappen is dat op zich ook niet zo erg: ze ontwikkelen wat meer inzicht en ervaren hoe sterk wiskunde in elkaar zit.
Wie weet: misschien gaan ze wiskunde wel nóg leuker vinden?!
