Centraal onderwerp van dit inspirerend voorbeeld, zeker bij uitdrukking b, is het correct berekenen volgens de volgorde van bewerkingen. Zoals je allicht weet, levert volgorde van bewerkingen vaak problemen op voor leerlingen. Een mogelijke instap kan met onderstaande opdracht. Volgens de auteur van de bijhorende Youtube-video levert de vraag hem bij 10 oplossers 5 verschillende antwoorden op.

Vraag leerlingen een blaadje te nemen en de opdracht uit te voeren. Loop rond en kies twee leerlingen met een interessante fout om hun oplossing aan het bord te maken. Interessante fouten zijn fouten waar je iets (voor de hele klas) duidelijk mee kunt maken, bv. een leerling die denkt dat vermenigvuldigen voorrang heeft op delen, een leerling die een erg ongestructureerde manier van noteren heeft of een leerling die “breit” en het gelijkheidsteken dus niet correct gebruikt. Je kunt de medeleerlingen vragen wat ze goed vinden aan de oefening en wat volgens hen beter kan, dat aanduiden op het bord en dan de volgorde van bewerkingen herhalen en een manier van noteren afspreken.
Het antwoord op de voorgestelde vraag is 4 · 4 + 4 · 0 + 4 · 4 – 4 : 4      = 16 + 0 + 16 – 1
                                                                                                                   = 31 
Weetje over de volgorde:
Mocht je het filmpje tonen: de auteur hanteert een andere volgorde dan wij, bij hem heeft deling namelijk voorrang op vermenigvuldiging. Het herinnert ons eraan video’s te screenen vooraleer ze aan leerlingen aan te bieden. Je zou het filmpje ook kunnen tonen en vragen wat “fout” is aan de volgorde die voorgesteld wordt. Intussen kun je ook nog eens herhalen dat volgorde van bewerkingen nu eenmaal een afspraak is, een afspraak die even goed anders had kunnen zijn en die trouwens vroeger ook anders was. Zoals blijkt uit (https://nl.wikipedia.org/wiki/Bewerkingsvolgorde) was de volgorde tot eind jaren 90 (1) haakjes, (2) vermenigvuldigen, (3) delen, (4) optellen en (5) aftrekken. Je kunt dus ook niet verwachten dat alle ouders hun zoon/dochter correct kunnen begeleiden.

Als eerste toepassingsmogelijkheid leent uitdrukking b “7 … 7 … 7 … 7 … 7” zich tot een les oefenen van volgorde van bewerkingen. Het feit dat er zoveel te zeggen valt over de mogelijke oplossingen introduceert een spelelement en kan het oefenen zo wat motiverender maken.
 
Start met de opdracht te verduidelijken (dus de opdracht: Vul aan met de vier hoofdbewerkingen in een volgorde naar keuze en reken uit). Haal hiervoor bij de leerlingen twee voorbeelden en twee tegenvoorbeelden op van correcte opdrachten en noteer aan het bord.
 
Voor het oefenen zelf kun je leerlingen per 2 laten werken met het idee dat ze apart kunnen werken, maar ook aan elkaar hulp vragen of elkaar kunnen controleren. Het oefenen kun je laten starten en “aan de gang” houden met vragen zoals: “Welk duo vindt (als eerste) een oplossing niet 7?”, “Welk duo vindt (als eerste) een negatieve oplossing?”, “Welk duo vindt (als eerste) de vier mogelijke oplossingen?”. Als controle voor die laatste opdracht kun je de som van de oplossingen meegeven: 7 + 55 + (-41) + 43 = 64. Dat koopt je wat rekentijd voor zwakkere groepen als enkele sterkere groepen snel klaar zijn. Als hun som niet het controlegetal is, kunnen ze alvast zoeken naar fouten in hun werk (of in hun berekende som 😊).
Zorg dat leerlingen tijdens het oefenen voldoende kladpapier hebben om hun antwoorden netjes uit te schrijven en laat hen telkens hun resultaat fluoresceren. Na enige tijd oefenen, benoem je wat goed of minder goed liep en zet je hard werkende duo’s in de bloemetjes.
Bij het afsluiten van het oefenen haal je de vier verschillende mogelijke oplossingen op.
 
Daarna las je een controlemoment in. Bij welke oefeningen kwamen leerlingen niet 1 van die 4 oplossingen uit? Laat leerlingen eerst individueel of in duo zoeken op fouten. Hoelang je daar tijd voor uittrekt laat je afhangen van hoeveel fouten leerlingen maakten en hoe goed de controle loopt. Als slot laat je een 3-tal duo’s één foute oefening naar keuze aan het bord brengen. Je stelt de vraag: “Wie vindt de fout?”. Laat leerlingen hun hand opsteken. De leerling die de oefening gemaakt heeft krijgt voorrang om uit te leggen. Weet die het niet dan kies je een leerling van de klas. Doe dat voor de drie oefeningen. Je kunt bijvoorbeeld ook het aantal opgestoken handen bij elke oefening tellen. We gaan ervan uit dat steeds meer leerlingen de fout zullen vinden. Dat kan een bijkomende boodschap zijn bij deze les: “kijk eens aan: oefenen werkt want het lukt steeds beter…”.

Variant: het rekenen hoeft natuurlijk niet met “7”, rekenen met een eenvoudiger getal 2, 4 of 10 kan natuurlijk ook. Voor jou als leraar zijn de algemene uitdrukkingen dan handig om de verschillende oplossingen te bepalen. Die algemene uitdrukkingen van de mogelijke resultaten bij uitdrukking b zijn n, n² + n – 1, -n² + n + 1 en n² - n + 1. Voor 10 wordt dat dus bijvoorbeeld
o    n = 10
o    n² + n – 1 = 100 + 10 – 1 = 109
o    -n² + n + 1 = -100 + 10 + 1 = -89
o    n² - n + 1 = 100 – 10 + 1 = 91
o    controlegetal (indien je dit gebruikt): 10 + 109 + (-89) + 91 = 121
 
In deze sectie staat dus het leerplandoel over bewerkingen centraal. Gebruik je de voorgestelde werkvormen dan communiceren leerlingen veelvuldig over wiskunde. Door afsluitend te reflecteren op het nut van oefenen, heb je aandacht voor leren leren.

Een andere toepassingsmogelijkheid is om een deel van de opdracht te gebruiken om het inzicht van je leerlingen aan te wakkeren. Zo kun je betreffende volgorde van bewerkingen, leerlingen zelf op uitdrukking a laten komen: “Hoe herschrijf je uitdrukking b zodat, ongeacht welke bewerkingstekens je ook invult, je bij het uitrekenen van links naar rechts moet werken?”.

Je kunt de vraag projecteren en even laten sudderen in de leerlingen hun hoofden. Allicht klinkt die vraag wat abstract, maar het zou goed zijn dan niet zelf een voorbeeld te noteren over wat je bedoelt. Een concreet voorbeeld noteren is namelijk de “heuristiek” die dit probleem meteen een stuk eenvoudiger maakt en we willen dat leerlingen dat zelf doen. (Na een paar minuutjes kun je uiteraard wijzen op het lumineuze idee die je bij één van de leerlingen zag en dan kan iedereen aan het werk.)

Andere inzichtelijke vragen zijn mogelijk: “Welk antwoord bekom je zeker?” (het getal zelf). Daarna kun je leerlingen opgaves met dat antwoord laten zoeken. Een volgende inzichtsgerelateerde vraag is dan: “Hoe ben je tewerk gegaan/Waarop heb je gelet om dat resultaat te bekomen?” (+ en – of · en : moeten juist na elkaar komen).
Je kunt dat laatste patroon ook laten ontdekken. Laat daartoe leerlingen hun opgaves die resulteren in het gewenste antwoord aan bord schrijven. Daarna is de vraag: “Wat hebben al deze opgaves gemeen(schappelijk) met elkaar?”.

Naargelang van de inzichtvraag die je stelt en hoe je die uitwerkt, zijn leerlingen bij deze sectie bezig met het leerplandoel probleemoplossend denken en/of het leerplandoel met betrekking tot patronen.

Bij de inzichtvragen van de vorige sectie hadden we het al over het ontdekken van patronen. Patronen ontdekken kun ook op andere manieren vanuit de opdracht. Zo kun je 1 uitdrukking naar keuze nemen, bv. (((7 + 7) · 7) - 7) : 7, waarvan we weten dat de oplossing 13 is. Vraag is dan welk resultaat deze uitdrukking oplevert met bv. 1, 2, 3 in plaats van 7. En wat met 20?

We denken aan twee mogelijke heuristieken om de vraag te beantwoorden. Je kunt “een tabel maken” waarin je de getallen (1, 2, 3 en 7) en de bijhorende uitdrukkingswaarden noteert en van waaruit je een patroon afleidt en toepast voor 20. Je kunt het patroon ook vinden door een letter te gebruiken als variabele. Leerlingen zullen dan moeten letterrekenen, dus deze tweede uitwerking sluit best aan bij het 2de jaar.
 
Uitwerking 1:
(((1 + 1) · 1) - 1) : 1     = ((2 · 1) - 1) : 1
                                    = (2 – 1) : 1
                                    = 1 : 1
                                    = 1
(((2 + 2) · 2) - 2) : 2      = ((4 · 2) - 2) : 2
                                    = (8 – 2) : 2
                                    = 6 : 2
                                    = 3
(((3 + 3) · 3) - 3) : 3      = ((6 · 3) - 3) : 3
                                    = (18 – 3) : 3
                                    = 15 : 3
                                    = 5
(((7 + 7) · 7) - 7) : 7      = ((14 · 7) - 7) : 7
                                    = (98 – 7) : 7
                                    = 91 : 7
                                    = 13

Opmerking: je ziet dat het patroon niet als letterformule hoeft. Je kunt een woordformule als tussenstap gebruiken of (bijvoorbeeld bij een wiskundig minder sterke groep) als eindformule.
Daarnaast kunnen ook andere formules. Een manier om aan te tonen dat verschillende (woord)formules op hetzelfde neerkomen is door de getallen erin door letters te vervangen en dan met letterrekenen aan te tonen dat ze op hetzelfde neerkomen. Bijvoorbeeld “2 keer het getal – 1” en “het getal + 1 minder dan het getal” komt neer op aantonen dat 2x – 1 gelijk is aan x + (x – 1). Je kunt het rechterlid verder uitwerken x + (x – 1) = x + x – 1 = 2x -1. Intussen kun je rekenregels herhalen (hier rekenregel voor een + voor de haakjes en rekenregel voor het optellen van gelijksoortige eentermen).
 
Uitwerking 2:
(((x + x) · x) - x) : x      = ((2x · x) - x) : x
                                    = (2x² – x) : x
                                    = 2x – 1
Opmerking: in principe staat bij het leerplandoel over letterrekenen niet dat het quotiënt van lettervormen gekend moet zijn. Je kunt de laatste stap daarom ook als …-oefening noteren: (2x² - x) = x · (  …  ).
 
Je kunt leerlingen opnieuw (vrijblijvend) in duo laten werken. Je loopt rond en kijkt of één van de groepjes met een passende aanpak start. Na een vijftal minuten prijs je de zoekinspanningen van de leerlingen. Je kunt leerlingen eventueel bij elkaar laten kijken wat ze gedaan hebben. Daarna kun je aangeven dat het niet altijd duidelijk is tijdens het zoeken of je handig bezig bent. Je kunt aangeven dat jij de oefening al gemaakt hebt en dat één van de groepjes een aanpak heeft waarvan je weet dat die werkt. Je kunt leerlingen dan bij die groep laten kijken en hen vragen welke aanpak het is. Je begeleidt zo richting de heuristiek (OF gestructureerd noteren/tabel maken en dan een patroon/regelmatigheid zoeken OF met het getal 7 vervangen voor een letter en kijken wat dat oplevert als resultaat met letterrekenen).

Daarna laat je alle leerlingen de gekozen heuristiek toepassen en vraag je (ter controle) naar de getalwaarde van de uitdrukking voor bijvoorbeeld 31. Laat enkele leerlingen die al sneller klaar zijn hun antwoord aan het bord maken. Dat is dan voer voor een klasgesprek. Allicht is de gekozen heuristiek die van gestructureerd noteren en een patroon zoeken. Passende vragen voor het klasgesprek zijn dan: “Welke manier van noteren vind je het makkelijkste als je een patroon wilt ontdekken?” en “Waarom?”. Hier is niet één antwoord correct. Het gaat erom dat leerlingen doelgericht kunnen werken en reflecteren in functie van een volgende keer probleemoplossend denken.
Mocht de gekozen heuristiek die met letterrekenen zijn, dan zal het klasgesprek gaan over het correct letterrekenen. Je kunt dan bij het bespreken van de bordantwoorden enkele regels rond letterrekenen laten herhalen door leerlingen.

Extra: zijn enkele groepjes toch wel erg snel klaar of wil je nog wat langer met dit probleem bezig zijn, dan kun je de tweede niet-in-klas-uitgewerkte heuristiek laten gebruiken om het probleem op te lossen.

Bij uitwerking 1 zijn leerlingen bezig met probleemoplossend denken gekoppeld aan volgorde van bewerkingen, het ontdekken van een patroon en het berekenen van getalwaarde, bij uitwerking 2 is het probleemoplossend denken gelinkt aan het gebruiken van letters voor variabelen, letterrekenen en het berekenen van getalwaarde.