Dit artikel sluit aan bij het leerplan wiskunde voor de eerste graad. De begrippen tegengestelde getallen, omgekeerde getallen en absolute waarde vormen een basis die in latere jaren een uitgebreidere en diepere betekenis krijgt. Door in de eerste graad een stevige basis te leggen, kunnen leerlingen deze concepten later rijker begrijpen en toepassen in complexere wiskundige contexten.
Veel leerlingen ervaren deze leerstof als moeilijk, en dat heeft verschillende oorzaken. Het begrip omgekeerde is vaak lastig omdat het niet vanzelfsprekend te visualiseren is. Bij absolute waarde ligt dat anders: als we het voorstellen als de afstand tot nul op de getallenas, wordt het concreet en begrijpelijk. Wanneer die visualisatie ontbreekt, blijft ook dit begrip abstract. Daarnaast zorgt het minteken voor verwarring, omdat het meerdere betekenissen heeft: het kan een toestandsteken zijn dat negatief aanduidt, een symbool voor het tegengestelde, of een bewerkingsteken dat aftrekken betekent. Ook het onderscheid tussen tegengestelde en omgekeerde getallen blijkt moeilijk, omdat beide begrippen lijken op “iets omdraaien”.
Verder hebben leerlingen moeite met negatieve getallen, vooral om richting en grootte goed te onderscheiden. Ten slotte worden verbanden tussen bewerkingen, zoals optellen en aftrekken of vermenigvuldigen en delen, niet spontaan gezien, wat het inzicht in samenhang bemoeilijkt.
In dit artikel geven we didactische tips om deze begrippen toegankelijker te maken en in te oefenen met de leerlingen.
Een getal is een symbool dat een hoeveelheid of positie aanduidt. Op de getallenas plaatsen we nul in het midden, positieve getallen rechts en negatieve getallen links. Deze lineaire ordening maakt het verschil tussen positief en negatief zichtbaar en helpt leerlingen om rekenkundige bewerkingen beter te begrijpen.
Het tegengestelde van een getal is het getal dat even ver van nul ligt, maar aan de andere kant van de getallenas. Het tegengestelde van a wordt genoteerd als –a. Dit begrip legt een belangrijk verband tussen optellen en aftrekken: aftrekken van een getal komt overeen met optellen van zijn tegengestelde. Bijvoorbeeld: 7−3=7+(−3).7−3=7+(−3).
Hier zien leerlingen dat het minteken verschillende betekenissen kan hebben: toestandsteken (positief of negatief), symbool voor tegengestelde, en bewerkingsteken (aftrekken). Het expliciet bespreken van deze betekenissen voorkomt verwarring.
Het omgekeerde van een getal is het getal dat, vermenigvuldigd met het oorspronkelijke getal, 1 oplevert. Voor een getal a ≠ 0 is het omgekeerde a−1=1a. a−1=1a. Dit begrip legt het verband tussen vermenigvuldigen en delen: delen door een getal is hetzelfde als vermenigvuldigen met zijn omgekeerde. Bijvoorbeeld:
De absolute waarde van een getal is de afstand van dat getal tot nul op de getallenas. Ze wordt genoteerd met verticale strepen: De absolute waarde is altijd positief of nul.
I-5I = 5 omdat op 5 eenheden van nul ligt.
I3I = 3 omdat op 3 eenheden van nul ligt.
Dit concept kan visueel worden verduidelijkt door de afstand op een getallenas te meten. Het begrip absolute waarde ondersteunt ook het verwoorden van tekenregels: bij vermenigvuldigen en delen van getallen speelt het teken een rol, maar de absolute waarde geeft de grootte van het resultaat.
Waarom zijn deze begrippen belangrijk?
Het tegengestelde maakt het mogelijk om aftrekken te herleiden tot optellen, wat het rekenproces vereenvoudigt en inzicht geeft in de structuur van bewerkingen. Dit idee keert later terug bij het oplossen van vergelijkingen, het werken met vectoren en het begrijpen van symmetrie in functies.
Het omgekeerde is onmisbaar voor het begrip van delen, breuken en verhoudingen. Het vormt de basis voor algebraïsche technieken zoals het oplossen van vergelijkingen door beide leden met het omgekeerde te vermenigvuldigen. Zonder dit inzicht blijven latere concepten zoals exponentiële functies, matrices en determinanten moeilijk toegankelijk.
De absolute waarde legt een intuïtieve link met afstand en grootte, los van richting. Dit speelt een rol in meetkunde, statistiek, analyse en zelfs in toepassingen buiten wiskunde, zoals natuurkunde en informatica.
Start met herkenbare situaties zoals temperatuur of geld. Laat leerlingen zelf berekenen en verwoorden wat de afstand betekent.
Als je 7 km moet afleggen en je hebt er al 10 afgelegd, dan is de resterende afstand niet –3, maar |7 – 10| dus 3 km.
In het algemeen:
|a – b| = afstand tussen a en b op de getallenas.
|a| = afstand tussen a en nul.
Visualisatie is cruciaal om deze begrippen te verankeren. Mogelijke werkvormen:
Bron: Geogebra: https://www.geogebra.org/m/qu6mz4tj
Verloop werkvorm met flashcards
Leerlingen bewegen op een getallenas op de vloer. Integreer het loopspel met realistische situaties. Bijvoorbeeld: “Je hebt een schuld van €15 (–15). Stap naar je tegengestelde: wat betekent dat in de context van geld?” Zo koppelen leerlingen beweging aan betekenis.
Het aanleren van tegengestelde en omgekeerde getallen en absolute waarde in de eerste graad is meer dan een rekenkundige oefening: het legt de basis voor wiskundig denken waarin verbanden tussen bewerkingen centraal staan. Door deze begrippen niet alleen uit te leggen, maar ook te verankeren via contexten, visualisaties en actieve werkvormen, krijgen leerlingen grip op abstracte ideeën.
Het inzetten van interactieve tools en speelse activiteiten zoals een loopspel op de getallenas of het ontwerpen van flashcards maakt leren betekenisvol en motiverend. Zo bouwen we stap voor stap aan een stevig fundament waarop leerlingen later complexe concepten kunnen begrijpen en toepassen.
