In een probleem over opvullingen met tetromino's (blokken uit het spel Tetris) spelen transformaties van het vlak en symmetrie een rol (zie LPD 21 en 23). De oplossing van het probleem kan worden gevonden door het probleem op te delen in deelproblemen.
We starten met de volgende vraag: op hoeveel manieren kan een 4x4 rooster worden opgevuld met 4 tetromino's? De verschillende tetromino's, gekend als blokken van het spel Tetris, worden hieronder getoond in het grijs en mogen nog gedraaid worden.
Je kan de leerlingen even laten proberen en verschillende opvullingen laten tekenen op ruitjespapier. Al gauw zullen ze inzien dat er veel verschillende mogelijkheden zijn.
Sommige van de opvullingen met tetromino's zijn echter verwant aan elkaar. Als je een opvulling draait over 90° of spiegelt over een horizontale of verticale as door het centrum, dan krijg je namelijk terug een opvulling. Je kan leerlingen alle verwante opvullingen laten zoeken bij een gegeven opvulling.
Voorbeeld 1: we starten met de opvulling die linksboven getoond wordt in onderstaande figuur. Door die opvulling te draaien over 90°, 180° en 270° krijg je de andere opvullingen uit de eerste rij. Door de opvulling van linksboven te spiegelen over de horiontale as krijg je de opvulling linksonder. Die kan je weer draaien over 90°, 180° en 270° om zo de resterende opvullingen op de tweede rij te verkrijgen. We krijgen zo zelfs 8 verschillende maar verwante opvullingen.
Voorbeeld 2: voor de opvulling met 4 rechtstaande rechthoekige tetromino's is er maar één verwante opvulling, namelijk de opvulling met 4 liggende rechthoekige tetromino's.
Bovenstaande twee voorbeelden maken al duidelijk dat het aantal verwante opvullingen afhankelijk is van de opvulling zelf. Je kan dan de vraag stellen of er ook opvullingen zijn met een ander aantal verwante opvullingen. Er blijken ook nog opvullingen te zijn met 1 en 4 verwante opvullingen, waarbij we de originele opvulling telkens meetellen. De linker figuur heeft geen andere verwante opvulling; de rechtse figuur is verwant met drie andere opvullingen.
We kunnen even stilstaan bij de achterliggende reden van het verschillend aantal verwante opvullingen: opvullingen met (in totaal) minder dan 8 verwante opvullingen zullen symmetrie vertonen. In bovenstaande voorbeelden is er lijnsymmetrie. Je kan vragen om de symmetrieassen van de opvullingen te tekenen.
De eerste twee voorbeelden zijn ook puntsymmetrisch ten opzichte van het centrum; de eerste is zelfs draaisymmetrisch over 90°. Sommige opvullingen hebben geen lijnsymmetrie, maar wel punt- of draaisymmetrie.
Als conclusie: hoe meer symmetrie een opvulling heeft, hoe minder verwante opvullingen.
We keren nu terug naar het oorspronkelijke probleem en zullen vanaf nu verwante opvullingen als dezelfde oplossing bekijken. Dit heeft als voordeel dat we minder opvullingen moeten tekenen. Bij elke nieuwe opvulling moet er dan wel gecheckt worden of de opvulling niet kan bekomen worden door een transformatie uit te voeren op een reeds opgenomen opvulling.
Je kan het probleem verder opdelen in deelproblemen. Zo kan je bijvoorbeeld leerlingen laten zoeken naar opvullingen met minstens twee langwerpige rechthoekige tetromino's.
Andere mogelijke deelproblemen zijn:
Je kan leerlingen in groepen laten werken aan de deelproblemen en de oplossingen samenbrengen. Hieronder zijn alle mogelijke opvullingen getekend.
