Deze opdracht is een toepassing op het verloop van functies. Afhankelijk van de oplossingsmethode komen extremumproblemen of rakende krommes aan bod.
Doordat deze opdracht zowel grafisch (oplossingsmethode 2) als algebraïsch (oplossingsmethode 1 en 2) kan worden opgelost, is er een link met onderstaande leerplandoelen.
LPD De leerlingen brengen met behulp van de grafiek, kenmerken van een functie in verband met de betekenisvolle situatie die door de functie wordt beschreven.
LPD De leerlingen analyseren het verloop van functies met behulp van de eerste en tweede afgeleide functie en lossen extremumproblemen op.
Bereken de oppervlakte van de cirkel c met de oorsprong als middelpunt en die de grafiek van de functie f raakt.
Twee krommes raken elkaar als ze in een gemeenschappelijk punt (raakpunt) een gemeenschappelijke raaklijn hebben. In dat gemeenschappelijke punt is de helling of afgeleide van beide ‘functies’ gelijk. Hierbij bekijken we de cirkel als de grafiek van twee irrationale functies.
We noteren gemakshalve het functievoorschrift van f als y.
We bepalen nu de straal r van de cirkel c door uit te drukken dat de krommen elkaar raken. Deze straal is gelijk aan de afstand van de oorsprong tot het raakpunt R(x0,y0). De coördinaten van R voldoen dus aan volgende vergelijkingen:
Door (1) en (3) in te vullen in (4), kunnen we x0 berekenen. We stellen hierbij dat R in het eerste kwadrant ligt, waardoor x0 strikt positief is.
We kunnen met (1) de y-coördinaat y0 van het raakpunt R bepalen. We bekomen:
We berekenen het kwadraat van de straal van de cirkel c:
Zo bekomen we de oppervlakte A van de cirkel c:
De vorige methode is vrij omslachtig en omvat veel rekenwerk. We gaan op zoek naar een andere benadering van dit probleem. Het gezochte raakpunt R is het punt van de grafiek van f waarvoor de afstand tot de oorsprong minimaal is. Zo wordt de vraag herleidt naar een extremumprobleem dat we al dan niet met ICT kunnen oplossen.
Het punt P(x,x+1/x) is een algemeen punt van de grafiek van f. We stellen nu het voorschrift op van de functie g die voor elke x-waarde het kwadraat van de afstand van P tot de oorsprong bepaalt en berekenen hiervan de minima. Door het kwadraat van de afstand te berekenen, krijgen we een eenvoudiger functievoorschrift.
Met de tweede afgeleide test kan eenvoudig nagegaan worden dat het hier wel degelijk over twee minima gaat. Dit volgt uiteraard ook al uit de context.
Op analoge wijze als bij de eerste oplossingsmethode worden de coördinaten van R en vervolgens de oppervlakte van de cirkel berekend.
Bij deze methode kun je na het opstellen van het voorschrift van de functie g ook grafisch de minima bepalen. Zo werk je aan het leerplandoel over het grafisch onderzoek van functies.
