Ook bij toepassingen op tweedegraadsfuncties en tweedegraadsvergelijkingen kan gewerkt worden aan de leerplandoelen over het beargumenteren van redeneringen en bewijsvoering. In deze toepassing komt ook een bewijs uit het ongerijmde aan bod.
LPD 4 De leerlingen beargumenteren wiskundige redeneringen en maken daarbij ook gebruik van eigenschappen of van een tegenvoorbeeld.
LPD B1 De leerlingen bewijzen wiskundige uitspraken.
Gegeven is de functie f met voorschrift f(x)=a.x2+b.x+c (a verschillend van 0) zonder reële nulwaarden.
Als a+b+c<0 dan geldt:
a) c is gelijk aan 0
b) c is strikt negatief
c) c is strikt positief
d) c kan zowel strikt negatief als strikt positief zijn
Als c gelijk is aan 0, heeft de functie f 0 als nulwaarde. Dit is in strijd met het gegeven, waardoor antwoord a niet kan. c is zeker verschillend van 0.
We zoeken een voorbeeld van een functievoorschrift die aan de gegeven voorwaarden voldoet en waarvan c strikt negatief is.
Hierdoor weten we dat het juiste antwoord mogelijkheid b of d is.
Via voorbeelden proberen we na te gaan of, rekening houdend met de twee voorwaarden, c strikt groter dan 0 kan zijn. Doordat f geen nulwaarden heeft, geldt: b2-4ac<0. Dit kan slechts als a en c hetzelfde teken hebben. We noteren nu enkele functievoorschriften met c (en dus ook a) groter dan 0 en gaan na of die aan beide voorwaarden (b2-4ac<0 en a+b+c<0) voldoen.
Het lijkt er op dat c nooit groter dan 0 kan zijn. We tonen dit aan met een bewijs uit het ongerijmde.
Stel: c>0
Uit de opgave weten we:
Doordat c en dus ook a positief zijn, volgt uit (2): (a+c)2<b2 (3)
Uit (1) en (3) volgt: (a+c)2<4ac of (a+c)2-4ac<0 (4)
We herschrijven het linkerlid van ongelijkheid (4): (a+c)2-4ac = a2+2ac+c2-4ac = a2-2ac+c2 = (a-c)2
Hierdoor bekomen we (a-c)2<0 wat een stijdigheid oplevert, een kwadraat kan immers nooit strict negatief zijn. De gemaakte veronderstelling (c>0) is dus vals.
Uit dit alles volgt dat c enkel strikt negatief kan zijn. Antwoord b is dus het juiste antwoord.
