In het leerplan Wiskunde B+S'' is een keuzedeel opgenomen over eigenschappen van de cirkel. Via het keuzedoel K1 kan je het begrip macht van een punt t.o.v. een cirkel aan bod laten komen (extra wenk). We herhalen kort het begrip en de bijhorende eigenschap en geven een aantal toepassingen. Als slot brengen we een aantal eigenschappen over koordenvierhoeken samen.
LPD K1: De leerlingen gebruiken eigenschappen van de cirkel om meetkundige problemen op te lossen.
Neem een punt P en een cirkel met middelpunt M en straal r. Beschouw een rechte door P die de cirkel snijdt in twee punten Q1 en Q2. Dan is het product van de afstanden |PQ1|.|PQ2| onafhankelijk van de gekozen snijlijn. Met andere woorden: |PQ1|.|PQ2| = |PQ3|.|PQ4|.
We onderscheiden twee gevallen: P binnen en P buiten de cirkel (zie de tekeningen).
De eigenschap kan bewezen worden door gebruik te maken van de gelijkvormigheidskenmerken van driehoeken. Beschouw daarvoor in beide gevallen de driehoeken PQ1Q3 en PQ4Q2.
De twee driehoeken hebben gelijke hoeken (kenmerk HHH):
De twee driehoeken zijn dus gelijkvormig, waaruit volgt dat |PQ1|/|PQ3| = |PQ4|/|PQ2| en de gewenste gelijkheid volgt.
Didactische tip: je kan het bewijs van één geval (P binnen of P buiten de cirkel) klassikaal doen en leerlingen vragen om het bewijs van het andere geval zelf te geven.
We bestuderen nu het specifieke geval waarbij de snijlijn door P ook door het middelpunt M gaat (indien P=M kan je een willekeurige rechte door P nemen).
Merk op dat de twee uitdrukkingen aan de rechterkant niet gelijk zijn, maar elkaars tegengestelde.
In het geval dat P buiten de cirkel ligt, dan kan je ook een raaklijn vanuit P aan de cirkel beschouwen met raakpunt R.
Als je de eigenschap toepast in die limietsituatie, dan krijg je de gelijkheid |PQ1|.|PQ2|=|PR|². Die gelijkheid volgt ook door eerst de stelling van Pythagoras voor de driehoek PMR te gebruiken en daarna de eigenschap toe te passen voor de snijlijn PM (zoals hierboven): |PR|² = |PM|²-r² = |PQ1|.|PQ2|. Een eenvoudig gevolg hiervan is dat de afstanden van P tot de twee raakpunten gelijk zijn.
De macht van een punt P ten opzichte van een cirkel met middelpunt M en straal r is gedefinieerd als het getal |PM|²-r². Dit is volgens de eigenschap gelijk aan:
Beschouw, zoals op de figuur hieronder, een gelijkbenige driehoek in een vierkant en de ingeschreven cirkel van die driehoek. Toon aan dat de verhouding a/b gelijk is aan de gulden snede.
Er zijn veel verschillende oplossingsmethoden voor deze opgave. De methode die we hier weergeven gebruikt het begrip macht.
Zonder verlies aan algemeenheid mogen we veronderstellen dat een zijde van het vierkant lengte 2 heeft, dus |AD|=1. Uit de stelling van Pythagoras volgt dat |AC|=√5.
De rechten AC en BC zijn raaklijnen aan de cirkel vanuit het punt C. Uit de eigenschap van raaklijnen vanuit een punt buiten de cirkel (of de eigenschap van macht) volgt dat |CN|=1, waardoor |AN|=√5-1.
We gebruiken nu de eigenschap van macht voor het punt A t.o.v. de ingeschreven cirkel. Hieruit volgt dat b.(a+b)=|AN|², dus 2b=(√5-1)². Hieruit besluiten we dat b=3-√5 en a=2-b=√5-1. Uitrekenen van de verhouding a/b levert ons de gulden snede (1+√5)/2.
De eigenschap bij macht van een punt dat in een cirkel ligt kan ook gelezen worden als een eigenschap over koordenvierhoeken.
We sommen hier een aantal eigenschappen over koordenvierhoeken op:
Niet elke vierhoek is een koordenvierhoek. Er kan worden aangetoond dat elk van de bovenstaande eigenschappen een nodige en voldoende voorwaarde geven op een vierhoek om een koordenvierhoek te zijn.
