In de eerste graad A-stroom worden de merkwaardige producten (a-b)(a+b) en (a+b)2 aangebracht. Het is aangewezen om deze formules ook in de tweede en de derde graad geregeld aan bod te laten komen. We geven enkele toepassingen op het kwadraat van een tweeterm waarbij ook ingezet wordt op algebraïsch rekenen en denk- en redeneervaardigheden.
Wiskunde - 2de graad - D/A-finaliteit
Wiskunde B+S - 2de graad - D/A-finaliteit
Wiskunde B+S' - 3de graad - D-finaliteit
Wiskunde - 3de graad - D/A-finaliteit
Wiskunde B+S - 3de graad - D/A-finaliteit
Wiskunde B+S - 3de graad - D-finaliteit
Wiskunde B+S'' - 3de graad - D-finaliteit
Wiskunde - 3de graad - D-finaliteit
Wiskunde B+S' - 3de graad - D/A-finaliteit
Wiskunde B+S'' - 3de graad - D/A-finaliteit
Wiskunde B+ - 2de graad - D-finaliteit
Wiskunde B+S - 2de graad - D-finaliteit
Wiskunde - 2de graad - D-finaliteit
Wiskunde B+S' - 2de graad - D-finaliteit
Wiskunde B+S'' - 2de graad - D-finaliteit
De essentie van elk van onderstaande opdrachten is het herkennen van het verband tussen de uitdrukkingen x+1/x en x2+1/x2. Deze opdrachten gaan dus niet louter over het toepassen van een merkwaardig product (kwadraat van een tweeterm), maar hebben als doel het versterken van inzicht in deze formule opdat leerlingen deze ook in andere (wiskundige) contexten zouden herkennen en kunnen toepassen. Afhankelijk van de doelgroep kun je rekening houdend met de complexiteit van de toepassingen een of meerder opgaves in de les aan bod laten komen. Dit kan al dan niet klassikaal.
Als we de beide leden van de gegeven gelijkheid kwadrateren, bekomen we bijna onmiddellijk het antwoord op de vraag. Leerlingen stellen vast dat het dubbel product van de uitwerking van het volkomen kwadraat een constante is.
Als alternatieve methode kunnen we de vergelijking k+1/k=5 omvormen tot een tweedegraadsvergelijking. Met de oplossingen van deze vergelijking kunnen we eveneens het gevraagde berekenen. Het is duidelijk dat deze methode wel wat meer rekenwerk vraagt, wat het belang en meerwaarde van het merkwaardig product benadrukt.
Bij deze opgave dagen we de leerlingen uit om het antwoord te vinden zonder de gegeven tweedegraadsvergelijking op te lossen. De leerlingen trachten de opgave te herleiden tot een toepassing analoog aan opdracht 1.
We delen beide leden van de gegeven tweedegraadsvergelijking door k (= stap 1). Nu kunnen we de oefening oplossen zoals in opdracht 1 (= stap 2).
We vermoeden, rekening houdend met opgave 1 en 2, dat het kwadraat van k+1/k ons naar de oplossing zal leiden.
We bekomen 7 en -7 als mogelijk waarden voor k+1/k.
Heb je in de les bikwadratische vergelijkingen als extra leerinhoud aangebracht? Dan kan deze opdracht ook hiermee opgelost worden. Door de gegeven vergelijking met k2 te vermenigvuldigen, bekomen we de vergelijking k4-47k2+1=0. Met de oplossingen van deze bikwadratische vergelijking kunnen we de waarde van k+1/k berekenen. Je merkt al snel dat het rekenwerk vrij complex en omslachtig is, waardoor deze methode dus niet echt aangewezen is.
Met een analoge redenering als bij opgave 3 kunnen we deze formule aantonen.
Het is duidelijk dat het linkerlid van de gelijkheid strikt positief is. Hieruit volgt de gevraagde formule.
We kunnen deze formule ook aantonen door het linkerlid te kwadrateren. We krijgen:
Hieruit volgt onmiddellijk de gevraagde formule.
Afhankelijk van de doelgroep kun je leerlingen vragen waarom k beperkt wordt tot waarden groter dan of gelijk aan 2.
Door de gegeven vergelijking x+1/x=k om te vormen naar x2-k.x+1=0 kunnen we deze vraag beantwoorden. Deze vergelijking heeft slechts oplossingen voor k-waarden groter of gelijk aan 2. Voor k-waarden tussen 0 en 2 bestaat er dus geen positieve x-waarde waarvoor x+1/x gelijk is aan k.
In het leerplan II-WisS’’-d voor richtingen van de tweede graad D-finaliteit met 10 graaduren wiskunde staat bij het leerplandoel over het oplossen van tweedegraadsvergelijkingen een wenk over het oplossen van wederkerige vergelijkingen. Deze opgave gaat over deze leerinhoud.
We kunnen deze vergelijking herleiden naar een tweedegraadsvergelijking door beide leden te delen door x2.
We bekomen:
