In het leerplan III-WisS’’-d van de 3de graad D-finaliteit staat een leerplandoel over het bewijzen van wiskundige uitspraken m.b.v. bewijstechnieken. Een uitdrukking, die te maken heeft met het huidige jaartal 2025, geeft een voorbeeld bij de bewijstechniek ‘bewijs door volledige inductie’.
Het jaartal 2025 geeft aanleiding tot een aantal mooie gelijkheden, zoals 2025 = (20+25)² = 5².9² = 40²+20²+5². Twee andere uitdrukkingen voor 2025 zijn (1+2+…+9)² en 1³+2³+…+9³.
De gelijkheid (1+2+…+9)² = 1³+2³+…+9³ is geen toeval: ze kan worden veralgemeend tot (1+2+…+n)² = 1³+2³+…+n³ voor alle natuurlijke getallen n groter dan nul. Die laatste gelijkheid kan als volgt worden bewezen via volledige inductie (zie LPD 4).
Als gevolg van de aangetoonde gelijkheid verkrijgen we dat de som van de eerste n derdemachten gelijk is aan de vierdegraadsveelterm n²(n+1)²/4.
Merk op dat
(1+2+…+k)² - (1+2+…+(k-1))² = ((1+2+…+k)+(1+2+…+(k-1)).((1+2+…+k)-(1+2+…+(k-1)) = k².k= k³ (*).
In de eerste stap wordt het merkwaardig product a²-b² = (a+b)(a-b) gebruikt. De verantwoording van de tweede stap, i.h.b. de gelijkheid (1+2+…+k)+(1+2+…+(k-1)) = k², kan op twee manieren: ofwel gebruik je twee keer de formule 1+2+...+n = n(n+1)/2 (een keer voor n = k en een keer voor n = k-1), ofwel kan je de som herschrijven als (1+(k-1))+(2+(k-2))+...+(k+0) = k².
Er volgt dan dat 1³+2³+...+(k-1)³+k³ = (1+2+…+(k-1))² + k³ = (1+2+…+k)², waarbij we in de eerste stap de inductiehypothese gebruiken en in de tweede stap de bovenstaande gelijkheid (*).
Een alternatieve werkwijze is om eerst dit gevolg via volledige inductie aan te tonen en daarna pas in te zien dat de vierdegraadsveelterm in n het kwadraat is van 1+2+...+n.
Andere voorbeelden van wiskundige uitspraken die via volledige inductie bewezen kunnen worden zijn formules voor combinaties, het binomium van Newton, de formule van de Moivre en formules voor de som van eerste n termen bij rijen.
