Eén vierhoek, meerdere strategieën. In deze opdracht verkennen leerlingen hoe ze met hulplijnen, gelijkvormigheid en goniometrie een complex probleem kunnen aanpakken.
In de tweede graad DA- en D-finaliteit komen verschillende meetkundige inhouden aan bod, zoals gelijkvormigheid, de stelling van Pythagoras en goniometrische verbanden in rechthoekige driehoeken. Voor leerlingen blijft het vaak een uitdaging om deze leerinhouden in samenhang toe te passen.
Deze opdracht biedt een rijk probleem waarin deze technieken geïntegreerd worden ingezet. Door het analyseren en opsplitsen van een ogenschijnlijk complexe figuur worden leerlingen gestimuleerd om gericht hulplijnen te tekenen en een doordachte oplossingsstrategie te ontwikkelen.
In wat volgt werken we deze ideeën uit aan de hand van een concrete opdracht.
Bereken de oppervlakte van de vierhoek ABCD.
Om tot een oplossing te komen, is het zinvol de gegeven figuur eerst grondig te analyseren.
Door het tekenen van enkele hulplijnen delen we de vierhoek op in een aantal vlakke figuren waarvan we de oppervlakte kunnen berekenen. Afhankelijk van de gekozen hulplijnen ontstaan er verschillende mogelijke aanpakken. We bespreken er hier twee.
In beide gevallen wordt de vierhoek ABCD opgedeeld in twee rechthoekige driehoeken en één rechthoek. Hierdoor herleiden we de opdracht tot het berekenen van de oppervlakte van deze gekende vlakke figuren. Met behulp van gelijkvormige driehoeken, goniometrische getallen in rechthoekige driehoeken en/of de stelling van Pythagoras kunnen we deze deeloppervlaktes berekenen.
We werken voor elk van de twee gevallen één mogelijke oplossing uit. We starten met een aanpak gebaseerd op figuur 1.
In figuur 1 zijn de driehoeken BFC en CEF gelijkvormig. Beide rechthoekige driehoeken hebben 30° en 60° als scherpe hoeken. Je kan de leerlingen vragen waarom dit zo is.
Als we de lengte van de rechthoekszijden van beide rechthoekige driehoeken kennen, kunnen we de gevraagde oppervlakte berekenen. Via driehoeksmeting in rechthoekige driehoeken berekenen we hiervoor de lengtes a = |BF|, b = |CF|, c = |EF| en d = |DE| (zie figuur 3).
In de rechthoekige driehoek BFC berekenen we a en b.
De vierhoek AEFB is een rechthoek, waardoor c gelijk is aan 1. Nu kunnen we in de rechthoekige driehoek CED de lengte d berekenen.
We berekenen nu de oppervlakte van elk van de drie deelfiguren.
Hieruit volgt de oppervlakte van de vierhoek ABCD.
De oppervlakte van de vierhoek ABCD is dus ongeveer 3,75.
We bekijken nu een alternatieve aanpak, vertrekkend van figuur 2.
We geven een mogelijke oplossing met behulp van figuur 2, waarbij we zowel gelijkvormigheid, de stelling van Pythagoras als het oplossen van rechthoekige driehoeken combineren. In deze aanpak ligt de nadruk meer op gelijkvormigheid en verhoudingen tussen figuren.
In figuur 2 zijn de driehoeken BCG en GHD gelijkvormig met opnieuw 30° en 60° als scherpe hoeken. Je kan de leerlingen opnieuw vragen om dit te verantwoorden.
In de driehoek BCG berekenen we de lengtes e = |BG| en f = |CG| (zie figuur 4).
We krijgen:
In driehoek BCG berekenen we de lengte e met de stelling van Pythagoras.
Nu kunnen we de oppervlakte van driehoek BCG en rechthoek ABGH bepalen.
De gelijkvormigheidsfactor van driehoek BCG t.o.v. driehoek GHD is twee. Hierdoor is de oppervlakte van driehoek BCG vier (= 22) keer groter dan de oppervlakte van driehoek GHD.
Hieruit volgt:
Door de oppervlakten van de deelgebieden samen te nemen, bekomen we:
De oppervlakte van de vierhoek ABCD is dus ongeveer 3,75.
Beide aanpakken leiden tot hetzelfde resultaat, maar leggen andere accenten in het wiskundig denken.
Kunnen jouw leerlingen ook met deze figuur de oppervlakte van vierhoek ABCD berekenen?
Deze opdracht met meerdere oplossingsstrategieën biedt meer dan enkel een rekenkundig resultaat en heeft ook een duidelijke didactische meerwaarde.
Deze opdracht illustreert hoe verschillende leerinhouden uit de tweede graad op een betekenisvolle manier kunnen samenkomen in één probleem. Ze biedt bovendien heel wat kansen om het wiskundig denken van leerlingen te verdiepen.
Deze opdracht:
Zo kan de opdracht niet alleen ingezet worden voor inoefening, maar ook als vertrekpunt voor een rijk klasgesprek over aanpak en wiskundige verbanden.
Deze opdracht is uitdagend en leent zich weliswaar niet voor elke leerling/klas tot een individueel op te lossen toepassing. De opdracht kan echter op verschillende manieren ingezet worden, afhankelijk van de klasgroep en de gekozen begeleiding.
Door gerichte tussenvragen of hints kan de leerkracht de complexiteit stapsgewijs toegankelijk maken, terwijl sterkere leerlingen uitgedaagd worden om zelfstandig verschillende strategieën te ontwikkelen en te vergelijken.
