In leerplan III-Wis-a bestemd voor leerlingen van de 3de graad A-finaliteit staat een leerplandoel rond kansen: “LPD6 De leerlingen interpreteren kansen in betekenisvolle contexten.”
In dit inspirerend voorbeeld lichten we twee lesactiviteiten toe waarmee je kan werken aan dit leerplandoel en delen we enkele vragen als inspiratie voor het beoordelen ervan.
Deze activiteit bouwt verder op één van de wenken in het leerplan.
Verdeel de klas in kleine groepen. Elke groep krijgt twee dobbelstenen en een tabel met de getallen 1 tot en met 12. Leg de opdracht uit: elke groep gooit 10 keer, berekent de som en houdt bij hoe vaak een uitkomst voorkomt door een streepje te zetten bij de uitkomst in de tabel. Vraag elke groep eerst om te voorspellen welk getal het vaakst zal voorkomen en noteer aan het bord, daarna voeren ze de opdracht uit.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Deze tabel bezorg je aan de leerlingen, een versie ervan teken je ook aan het bord. Zet ook de groepsvoorspellingen (de door elk van de groepjes voorspelde vaakt voorkomende som) aan het bord.
Nadat leerlingen hun resultaten hebben genoteerd, verzamel je de resultaten van alle groepen: teken de tabel op het bord en laat aanvullen. Het doel is om het patroon te ontdekken. Dat patroon wordt duidelijker bij een groter aantal worpen. Je kan leerlingen hierop wijzen door de bespreking niet uit te stellen tot van alle groepen de resultaten aan het bord staan. Heb je bijvoorbeeld 7 groepen van 2, laat dan bijvoorbeeld 3 groepen aanvullen op het bordschema.
Stel dan vragen zoals deze (V= vraag, A= modelantwoord):
Kondig aan dat de andere groepen nu groep per groep hun resultaten zullen aanvullen.
Het kan zinvol zijn om na de dobbelsteenactiviteit te benadrukken dat het aantal mogelijke uitkomsten niet voldoende is om de kans te kennen. Dat kan je doen door onderstaande tabel te projecteren, die te interpreteren met de leerlingen (stel vragen: wat staat in de eerste kolom, wat staat in de tweede kolom, wat wil de lijn zeggen met 3 als som ...) en dan afwisselend de aandacht van de leerlingen te vestigen op de eerste kolom:"11 mogelijkheden, je zou dus mogelijk denken aan een kans van 1 op 11 voor elke uitkomst" en dan de tweede kolom: "maar niet elke mogelijkheid is even waarschijnlijk, je kunt 2 bv. op minder manier gooien dan 3 of 4".
Som van de worpen Mogelijke combinaties met 2 dobbelstenen 2 (1,1) 3 (1,2), (2,1) 4 (1,3), (2,2), (3,1) 5 (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) 6 (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) 7 (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) 8 (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) 9 (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) 10 (4,6), (5,5), (6,4) 11 (5,6), (6,5) 12 (6,6)
Om te controleren of leerlingen dit snappen, kun je nu vragen om per twee na te denken over de uitspraak bij de afbeelding hieronder: "Klopt de uitspraak? Waarom?"
Modelantwoord:
De uitspraak klopt niet. De kans zal niet precies 1 op 2 zijn. Is het een goede basketballer dan zal de kans wellicht hoger zijn, is het een slechte basketballer dan is de kans mogelijk kleiner. Mogelijk merken leerlingen ook op dat de basketballer in de figuur ook wel slecht georiënteerd staat (zo met zijn rug naar de ring), de kans is hier dus wellicht kleiner dan 1 op 2. Hoeveel de kans is zou je experimenteel voor de basketballende jongere kunnen gaan trachten te benaderen door die héél vaak te laten mikken, te tellen hoe vaak die scoort en dan het aantal keer scoren te delen door het aantal keer mikken. In elk geval is het niet zo dat omdat er 2 mogelijkheden (scoren of niet scoren) de kans ook 1 op 2 is.
Je kunt leerlingen erop wijzen dat dezelfde redenering opgaat als het gaat over het winnen van de lotto: het is niet omdat je ofwel wint ofwel niet wint dat de kans op winst 1 op 2 is, de kans op het winnen van de lotto ligt veel lager.
Geef de leerlingen de volgende tien stellingen, laat wat witruimte tussen de stellingen om na bespreking een modelantwoord te noteren.
Leerlingen moeten bepalen of de stelling waar of niet waar is en hun antwoord kort beargumenteren. Laat leerlingen in groepjes van 2 of 3 werken en hun argumentatie oefenen en kort noteren op een kladblad. Speel daarna een waar-niet waar-spel in twee rondes waarbij je groepsnamen op het bord zet en scores turft.
Eerst speel je voor stellingen 1 tot 5. Vraag: ‘waar of niet waar’ voor alle stellingen, roep de winnaar uit en laat de stellingen één voor één laten argumenteren. Vat telkens samen en laat kort noteren.
Voor de eerste 5 stellingen zijn dit modelantwoorden:
1. Niet waar. Een dobbelsteen heeft geen geheugen; de kans blijft altijd 1 op 6.
2. Niet waar. De kansberekening is geen garantie. Het is waarschijnlijk dat er één winnaar is, maar niet zeker.
3. Niet waar. De helm verkleint de kans op letsel àls er een ongeval plaatsvindt. De kans op een ongeval verkleint niet door het dragen van een fietshelm. Een fluohesje bijvoorbeeld kan wel de kans op een ongeval verkleinen. Door een fluohesje te dragen, is de kans kleiner dat je niet opgemerkt wordt en daardoor kun je mogelijk een ongeval voorkomen. Een helm kan geen ongeval voorkomen. (Al kan het natuurlijk een fluohelm zijn :) en dan kan het wel.)
4. Niet waar. Op de roulettetafel is ook een groen vakje (0), wat de kansen voor rood en zwart kleiner dan 50% maakt.
5. Niet waar. Een grotere kans maakt een gebeurtenis waarschijnlijker, niet gegarandeerd/zeker.
Daarna laat je de groepen opnieuw nadenken over de stellingen 6 tot 10. Ze mogen hun antwoorden en argumenten aanpassen. Vervolgens speel je analoog zoals bij de eerdere stellingen: eerst waar/niet waar, dan winnaar uitroepen en groei bij de groepen benadrukken, vervolgens elk antwoord laten argumenteren en kort samenvatten en noteren.
Dit zijn modelantwoorden bij stellingen 6 tot 10:
6. Waar. Er zijn evenveel rode als blauwe knikkers, dus de kans is de helft.
7. Niet waar. Elke worp is een nieuwe gebeurtenis, waarbij de uitkomst niet afhangt van een vorige worp. Bij een eerlijke munt (waar we hier vanuit gaan) blijft de kans 50%.
8. Niet waar. Het gooien van 3 kan op twee manieren ((1,2), (2,1)), een 10 kan op drie manieren ((4,6), (5,5), (6,4)). De kans op 10 is dus groter.
9. Waar. De totale kans is 100% of 10 op 10.
10. Niet waar. 1 op 10 is een veel grotere kans dan 1 op 100.
Na de stellingen, tussen de twee rondes of als extraatje voor snellere groepjes is dit een mogelijke bijvraag V met modelantwoord A:
Hieronder vind je enkele vragen om bij leerlingen het interpreteren van kansen te beoordelen. Vooral vanuit de argumentatie van leerlingen krijg je hier een goed beeld op. Merk op: als alternatief zou je deze of soortgelijke vragen kunnen omvormen tot waar-niet waar-stellingen met argumentatie.
Som van de worpen Mogelijke combinaties met 2 dobbelstenen 0 1 2 (1,1) 3 (1,2), (2,1) 4 (1,3), (2,2), (3,1) 5 (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) 6 (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) 7 (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) 8 (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) 9 (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) 10 (4,6), (5,5), (6,4) 11 (5,6), (6,5) 12 (6,6) 13 14 15
Bekijk de tabel hierboven met alle mogelijke worpen van twee dobbelstenen.
Wat is het verschil in kans tussen het gooien van een 3 en een 7? Kies de juiste uitspraak en leg uit.
a) De kans op een 3 en een 7 zijn even groot.
b) De kans op een 3 is kleiner dan de kans op een 7.
c) De kans op een 3 is groter dan de kans op een 7.
Sarah wint als ze een '6' gooit met één dobbelsteen. Tom wint als hij 'dubbel 1' gooit met twee dobbelstenen. Kies de juiste uitspraak en leg uit.
a) Sarah heeft de grootste kans.
b) Tom heeft de grootste kans.
c) Ze hebben evenveel kans.
Op een kraslot staat: 'Kans op een prijs: 1 op 5'. Je koopt 25 van deze loten. Kies de juiste uitspraak en leg uit.
a) Je wint zeker een prijs.
b) Je wint waarschijnlijk wel, maar het is niet zeker.
c) Je wint zeker geen prijs.
Kies de juiste uitspraak en leg uit.
a) De kans op een verkeersongeval wordt kleiner door het dragen van een gordel.
b) De kans op een overstroming wordt groter door de aanleg van dijken (zie figuur hieronder).
c) De kans op een bosbrand wordt groter door droogte.
Hieronder vind je modelantwoorden. Argumentatie beoordelen is niet zo makkelijk. Bepaal op voorhand wat je zeker in een antwoord wil zien.
Correct antwoord: b) De kans op een 3 is kleiner dan de kans op een 7.
De tabel laat zien dat je een som van 3 maar op twee manieren kunt gooien. Je kunt een som van 7 op wel zes manieren gooien. Omdat er meer manieren zijn om een 7 te gooien, is de kans om een 7 te gooien groter dan de kans om een 3 te gooien.
Correct antwoord: a) Sarah heeft de grootste kans.
Bij één dobbelsteen zijn er zes mogelijke uitkomsten, waarvan één goed is voor Sarah. Bij twee dobbelstenen zijn er veel meer dan zes mogelijke uitkomsten. Tom moet een specifieke combinatie gooien van al die mogelijkheden, waardoor zijn kans veel kleiner is.
Correct antwoord: b) Je wint waarschijnlijk wel, maar het is niet zeker.
Een kans van 1 op 5 wil zeggen dat als je superveel lotjes koopt gemiddeld 1 op de 5 een prijs oplevert. Ik koop 25 lotjes dus verwacht ik gemiddeld 5 lotjes met een prijs, maar dat is niet zeker. Bij elk lotje dat je koopt is de kans om een prijs te winnen 1 op 5 en de kans om geen prijs te winnen 4 op 5. Je kunt 25 keer na elkaar een waarschijnlijke uitkomst hebben (niet winnen) en dus geen prijs hebben.
Correct antwoord: c) De kans op een bosbrand wordt groter door droogte.
Droogte kan een rol spelen bij bosbrand. Door droogte worden bomen en planten droog, waardoor ze veel sneller vlam vatten en brand zich sneller verspreidt. Dit verhoogt de kans op een bosbrand.
Leerlingen kunnen ook uitleggen waarom a en b fout zijn. A is fout omdat het dragen van een gordel ervoor zorgt dat je veiliger bent àls er een ongeval gebeurt. Het verkleint de kans op letsel, niet de kans op een ongeval. B is fout omdat dijken juist gebouwd worden om de kans op een overstroming te verkleinen. Ze houden het water tegen.
Correct antwoord: c) De kans dat het niet stormt is groter dan de kans dat het wel stormt.
De kans op storm is 40%. Dat is nog steeds minder dan de helft. De kans dat het niet stormt is 60%. Omdat 60% groter is dan 40%, is het waarschijnlijker dat het niet stormt dan wel.
