Dit inspirerend voorbeeld is bestemd voor leerlingen eerste graad A-stroom en kun je bijvoorbeeld in het kader van probleemoplossend denken of argumenteren inzetten. In de tekst beschrijven we de gedachtegang bij het zoeken van het probleem en expliciteren we de gebruikte heuristieken. Om het aanbieden in de klas te faciliteren, voorzagen we ook een Geogebraboek voor de leerlingen om aan de slag te gaan en een (aanpasbaar) Word-document als mogelijke nabespreking. Enjoy!
Een vierkant bevestigd in het centrum van een tweede, even groot vierkant is zo bevestigd dat je het kunt draaien. Hoeveel overlap is er minstens?
Het ene geval is al duidelijker dan het andere. Voor onderstaande gevallen is het duidelijk dat de vierkanten elkaar voor een vierde deel overlappen.
Merk op dat we hier nu een heuristiek toepassen: "probeer een bijzonder geval".
Een hypothese kan zijn dat de overlap altijd 1/4 van één vierkant is. Hoe toon je dat nu aan? Je zou met Geogebra de oppervlakte van de doorsnede kunnen berekenen, de vierkanten draaien en nagaan of de doorsnede even groot blijft.
Je kunt ook een redenering opbouwen door na te gaan hoe de doorsnede in een willekeurig geval verschilt van de doorsnede in een bijzonder geval.
Merk op dat we hier nu een heuristiek toepassen: "het probleem vereenvoudigen".
De rode driehoeken tonen hoe die beide gevallen verschillen. Als ik een beetje doordraai :), verandert een bijzonder geval in een willekeurig geval.
Het is voldoende aan te tonen dat de beide rode driehoeken even groot zijn. Immers, als dat klopt, dan is de willekeurige doorsnede ABCM (bovenste rode driehoek + witte driehoek) even groot als de bijzondere doorsnede BMD (onderste rode driehoek + witte driehoek) en die laatste is duidelijk 1/4 van een vierkant.
Welke wiskunde hebben we om aan te tonen dat twee driehoeken even groot zijn? Mogelijk doet de probleemcontext van draaien leerlingen denken aan een eigenschap van draaiingen 'een draaiing behoudt de grootte van een figuur". We verkennen die optie.
De rode driehoek CMD lijkt het draaibeeld te zijn van driehoek AMD rond het punt M over een hoek van -90°. Maar is CMD het draaibeeld van AMD? Kunnen we dat aantonen?
We passen de heuristiek "opsplitsen in deelproblemen" toe en blijven dicht bij hoe een draaiing werkt: hoe zit het met de drie aparte hoekpunten?
Bij de genoemde draaiing wordt M op M afgebeeld: dat klopt. B wordt op D afgebeeld, dat klopt ook: BMD is 90° met [BM] en [DM] diagonalenhelften van een zelfde vierkant dus even lang. C als het beeld van A lijkt moeilijker aan te tonen. Natuurlijk is de hoek in M 90° (een hoek van het tweede vierkant), maar zijn [AM] en [CM] zeker even lang?
Welke wiskunde kennen we om aan te tonen dat twee lijnstukken even lang zijn? Laat het ons met congruentie proberen. We werken "van achteren naar voren". Voor congruentie hebben we drie gelijkheden nodig.
We hebben al snel twee even lange zijden en twee even grote hoeken [BM] en [DM] zijn beide diagonaalhelften van een zelfde vierkant, de twee aangeduide hoeken in M zijn beide het complement van de hoek BMC. Dat maakt dat we voor de congruentie nog één gelijkheid nodig hebben.
Eén mogelijkheid is de gelijkheid van de hoeken in B en in D, die zijn beide 45°. Zo heb je het congruentiekenmerk HZH.
Een andere mogelijke derde gelijkheid zie je in bovenstaande figuur. Vanuit deze figuur merk je dat de blauwe hoeken in A en C even groot zijn. Ze zijn immers beide het supplement van de rode hoek in C. De blauwe hoek in C is een nevenhoek en voor de blauwe hoek in A gebruik je de hoekensom in vierhoek ABCM met de hoeken in B en M beide 90°.
Je kunt dus ook het congruentiekenmerk ZHH gebruiken.
Nu zouden we in principe kunnen verdergaan op ons originele idee om aan te tonen dat de rode driehoeken elkaars draaibeeld zijn. Daarvoor hadden we nog de gelijkheid van de lengtes |AM| en |CM| nodig. Dat is echter niet nodig, vanuit de congruentie, weten we dat de oppervlaktes van de rode driehoeken gelijk is. Dat betekent dat de oppervlakte van een willekeurige doorsnede (wit + driehoek ABM) dezelfde is als van een bijzondere doorsnede (wit + driehoek CDM) en dus ¼. Onze redenering is opgebouwd.
We delen nog een andere mogelijkheid om vanuit een doorsnee overlap tot ¼ te komen. Beschouw onderstaande figuur.
Je kunt aantonen dat je om van de overlap tot ½ te komen ¼ moet toevoegen, met andere woorden dat de blauwe vierhoek en rode driehoek samen ¼ zijn. We passen een heuristiek toe om inzicht te krijgen in wat we al weten: "het gegeven aanduiden".
Met onze gegevens kunnen we "de vraag vereenvoudigen". Als we de rode driehoek tegen de blauwe vierhoek aan kunnen leggen, dan zijn we er. We hebben namelijk al drie even lange zijden en drie hoeken van 90°. Zo krijg je dus een vierkant met zijde de helft van een zijde van het grote vierkant, wederom dus een oppervlakte van 1/4. Maar past de rode driehoek tegen de blauwe vierhoek?
We proberen die vraag wiskundig te interpreteren. Wat betekent dat wiskundig? Om geen 'knik' te hebben bij het tegen elkaar schuiven van de blauwe en rode hoek, moeten de hoeken supplementair zijn.
In onderstaande figuur merk je dat dit klopt. De blauwe hoeken zijn beide het supplement van de rode hoek (wegens opnieuw hoekensom in een vierhoek met 2 rechte hoeken en nevenhoeken).
Tot slot bekijken we bovenstaande situatie even vanuit het andere vierkant.
Het overlappend deel is duidelijk ¼ van het linkse vierkant. Kun je het aantonen voor het rechtse?
Opnieuw zullen we "het gegeven aanduiden".
Met de gegevens aangeduid in deze figuur merk je dat de doorsneedriehoek ook past in het middelpunt. Beide driehoeken zijn namelijk congruent: het zijn gelijkbenige rechthoekige driehoeken met een even lange schuine zijde, dus congruentiekenmerk HZH kan (2 basishoeken van 45° en een zijde van het vierkant als schuine zijde).
We hebben hier onze eigen gedachtegang trachten te schetsen. Het lijkt ons zinvol leerlingen tijd te geven na te denken over het probleem en enkele benaderingen te proberen. Overweeg zo’n start. Geef de figuur, stel de vraag en laat leerlingen wat proberen, loop rond, zie je een goede aanzet: moedig aan en deel die aanzet met anderen.
Bespreek daarna wat leerlingen vonden: welke oppervlakte hebben ze in gedachten? Welke wiskunde denken ze te kunnen gebruiken? Wat lukt daarvan wel of niet? Wellicht maken leerlingen ook gebruik van enkele heuristieken die we genoemd hebben. Expliciteer deze heuristieken en complimenteer de leerlingen met het gebruik ervan.
Om het geheel dan gestructureerd en vollediger uit te werken, maakten we een Geogebraboek. Kopieer het boek in jouw account en deel het in Geogebra Klaslokaal met je leerlingen. Laat hen de opdrachten bijvoorbeeld per 2 maken en gebruik de klaslokaalfuncties (al dan niet naamloze projectie van leerlingenantwoorden) om redeneringen te bespreken in klas. Hierbij laat je via goede en minder goede elementen in redeneringen leerlingen nadenken over hoe een goede redenering wordt opgebouwd.
Mocht je wat hulp nodig hebben bij het opzetten van je klaslokaal, info vind je hier. Oplossingen op de vragen in het Geogebraboek vind je in deze tekst.
We voegden ook een worddocument toe onderaan deze pagina met een ingevuld bewijs voor de vaststelling en één waar leerlingen enkele zaken moeten aanvullen. Dit document zou je bij de eindbespreking kunnen gebruiken.
Zoals je gemerkt hebt zullen leerlingen wat wiskundekennis nodig hebben, je kunt er voor kiezen om die eerst met de leerlingen te herhalen en aan bord te schrijven: je kunt immers niet puzzelen zonder puzzelstukken 😊.
De puzzelstukken van dienst zijn:
Mogelijk komt ook een redenering via draaien aan bod. Hiertoe is kennis nodig over hoe je draait, dat een draaiing de oppervlakte behoudt en dat een hoek in wijzerzin negatief is. Dat herhalen is echter minder zinvol omdat de vragen die ernaar peilen nogal letterlijk zijn; alleen baby's krijgen graag de pap in de mond...
Het eerste werkblad is oriënteren op het probleem. Als je dat vooraf klassikaal doet, dan kun je dat dus overslaan. Het lijkt ons zinvol werkblad 2 of werkblad 3 door iedereen te laten maken. Met de andere werkbladen, kun je snelle werkers aan het werk zetten.
